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May 10 Filosofia & Scienze NaturaliIn quale relazione stanno la Matematica e le Scienze Naturali?
È questa una delle domande più complesse che si possono fare intorno alla scienza moderna, per cui non si può presumere di dare una risposta esaustiva, ma solo di indicare qualche spunto di riflessione intorno ad un problema ancora aperto. Nel nostro caso la domanda è sorta studiando la filosofia antica e scoprendo che la dottrina di Pitagora faceva degli enti matematici l’essenza della realtà fisica, dottrina ripresa da Platone e sviluppata per lo studio delle leggi fisiche da Archimede di Siracusa. Abbiamo inoltre constatato che già nell’ambito del pensiero greco l’impostazione pitagorico-platonica era stata messa in discussione, in particolare da parte di Aristotele. Questi sosteneva che l’ente matematico ha una realtà unicamente mentale, astratta e di conseguenza legava l’indagine filosofica sull’essere (la metafisica) alla fisica e non alla matematica. Ci siamo quindi chiesti se queste due grandi impostazioni di fondo siano ancora di aiuto per capire i problemi nei quali si dibatte oggi la scienza nel suo utilizzo di un linguaggio matematico. A questo scopo occorre accennare ad un episodio famoso che si colloca all’inizio della storia della scienza moderna, lo scontro tra Galileo Galilei (1564-1642) e i teologi della Chiesa cattolica.
Galilei è unanimemente riconosciuto come il fondatore del metodo scientifico moderno, ma alcune sue affermazioni sollevano dei problemi estremamente complessi sul piano filosofico-teologico; ne riportiamo due, le più celebri:
«la filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto». (Il Saggiatore, 1623)
«l’intendere si può pigliare in due modi, cioè intensive, o vero extensive; e che extensive, cioè quanto alla moltitudine degli intellegibili, che sono infiniti, l’intender umano è come nullo … ma pigliando l’intendere intensive, in quanto cotal termine importa intensivamente, cioè perfettamente, alcuna proposizione, dico che l’intelletto umano ne intende alcune così perfettamente, e ne ha così assoluta certezza, quanto se n’abbia l’istessa natura; e tali sono le scienze matematiche pure, cioè la geometria e l’aritmetica, delle quali l’intelletto divino ne sa bene infinite proposizioni in più, perché le sa tutte, ma di quelle poche intese dall’intelletto umano credo che la cognizione agguagli la divina nella certezza obiettiva, poiché arriva a comprenderne la necessità, sopra la quale non par che possa esser sicurezza maggiore». (Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, 1632)
Queste due affermazioni, se estrapolate dal contesto e interpretate alla lettera, significano, sul piano filosofico, la netta affermazione dell’impostazione pitagorico-platonica su quella aristotelica: la matematica è il linguaggio della natura in quanto Dio, creando il mondo, ha “pensato” matematicamente. Il creazionismo ebraico-cristiano si ricollega all’intuizione pitagorica del numero come essenza della realtà. In questo modo Galilei, pur essendo cattolico credente, creava un grave problema teologico: è il medesimo Dio che ha fatto la natura ed ha parlato nella Bibbia, per cui la scienza fisico-matematica si pone come un’altra via di decifrazione del suo pensiero, accanto alla Rivelazione. Il “gran libro della natura” si affianca ai testi sacri della Bibbia con il rischio di svalutare la Rivelazione come via aperta all’uomo di fede per giungere a Dio; inoltre, svolgendo tutte le implicazioni, si afferma che quest’ultima è la via seguita comunemente dalle persone ignoranti, mentre lo scienziato segue l’altra via, quella della ragione, che conosce «intensive» (ossia nel grado di certezza) le verità matematiche al pari di Dio. La ragione divina sarebbe diversa dalla nostra solo «extensive» ossia quantitativamente (conosce molte più verità matematiche di noi), va perduta così la differenza qualitativa tra ragione divina e umana. Anche qui l’implicazione è assai pesante: si può immaginare un approssimarsi all’infinito delle nostre conoscenze fisico-matematiche, attraverso la collaborazione di generazioni di scienziati nel corso della storia. Siamo ad un passo quindi, dal mito illuministico del progresso.
Tutto ciò non è affermato da Galilei, ma resta il fatto che alcune sue affermazioni contenevano implicazioni che andavano oltre la sua buona fede di credente, addentrandosi in un campo filosofico e teologico che non era di sua specifica competenza. Per questa ragione il cardinale Roberto Bellarmino intervenne a sostenere la tesi del valore «ipotetico» delle dimostrazioni matematiche, come si legge chiaramente nella lettera che scrisse a Galilei al Foscarini il 12 aprile 1615:
«Io dissi al principio, mio reverendo Padre, che se voi e il signor Galileo agirete prudentemente, se vi contentereste di parlar ex suppositione, e non in maniera assoluta, come ho sempre creduto che abbia parlato Copernico perché il dire che supponendo il moto della terra e l’immobilità del sole si salvano tutte le apparenze meglio che con le eccentriche e gli epicicli questo è dire benissimo, questo non soffre alcun pericolo, e questo basta al matematico. Ma voler affermare che realmente, il sole è il centro del mondo e che gira solamente su se medesimo, senza andare dall’oriente allo occidente, mentre la terra è nel terzo cielo e gira con grandissima rapidità intorno al sole, è correre gran pericolo non solamente d’irritare i filosofi e i teologi scolastici, ma di nuocere alla nostra religione, accusando di errore la santa Scrittura».
Il confronto tra Galilei e Bellarmino viene spesso interpretato come scontro tra un libero pensiero scientifico e un soffocante pensiero teologico teso a difendere il potere dell’istituzione Chiesa. È vero che questioni politiche complesse, legate al periodo delle guerre di religione, intervennero allora a complicare il quadro, ma a distanza di secoli si può meglio osservare l’aspetto culturale della disputa e concentrarsi sul suo contenuto essenziale, che riguardava il rapporto tra metafisica, fisica e matematica. Gli oppositori di Galilei erano alcuni filosofi “aristotelici” di Firenze e Pisa che pretendevano di derivare i principi della fisica dagli assiomi della metafisica aristotelica, dimenticando che nella Fisica di Aristotele si trovano indicazioni per distinguere tra assiomi (principi primi degni di essere creduti con assoluta adesione) e postulati (proposizioni che si ammettono allo scopo di rendere possibile una dimostrazione; nel caso che fungono da principi delle diverse scienze naturali sono di origine induttiva, quindi ipotetici, dato il carattere contingente degli enti fisici a cui si riferiscono). Si legge in Morris Kline, Storia del pensiero matematico (vol. I, Einaudi, Torino 1999, p. 64-64):
«(Aristotele) distingue gli assiomi o nozioni comuni, che sono verità comuni a tutte le scienze, dai postulati, che sono primi principi accettabili per ogni singola scienza. Fra gli assiomi egli include i principi logico, come ad esempio la legge di contraddizione, la legge del terzo escluso, l’assioma che afferma che se uguali sono aggiunti o sottratti da uguali allora i risultati sono uguali, e altri principi analoghi. I postulati non devono necessariamente essere autoevidenti, ma la loro verità deve allora essere confermata dalle conseguenze che se ne possono derivare. L’insieme degli assiomi e dei postulati deve essere il più ristretto possibile, purché essi permettano di dimostrare tutti i risultati. Sebbene, come vedremo, Euclide usi la distinzione aristotelica fra nozioni comini e postulati, tutti i matematici fino alla fine del XIX secolo trascurarono questa distinzione e trattarono gli assiomi e i postulati come ugualmente autoevidenti».
Dunque, per Aristotele (e per il suo grande commentatore cristiano Tommaso d’Aquino) i postulati delle scienze fisiche sono di origine induttiva, non sono deducibili dai principi metafisici, di conseguenza le dimostrazioni che ne conseguono hanno un valore ipotetico, in quanto riguardano processi causali contingenti. Lo ribadisce con estrema chiarezza D. Drake nel volume Galileo Galilei, pioniere della scienza (Muzzio, Padova 1992, p. 206): «i filosofi medievali considerarono i principi così assolutamente stabiliti nella Metafisica di Aristotele, che era un’assurdità ammettere in fisica qualcosa che non era direttamente deducibile da essi». In questo errore non cadde però il più grande di essi, Tommaso d’Aquino, così come il cardinale Bellarmino, raffinato teologo gesuita, non si pone sullo stesso piano di quegli aristotelici contro i quali lotta Galilei. Nell’atteggiamento di Bellarmino è contenuta la possibilità di riprendere la linea già indicata da Tommaso, che faceva chiaramente intendere come la teoria tolemaica non sia un supporto indispensabile alla fede cristiana:
«Suppositiones quas adinvenerunt astrologi, non est necessarium esse veras … quia forte secundum aliquem alium modum nondum ab hominibus comprehensum apparentia inter stellas salvantur» (Tommaso, Lect. 17 in Aristotele, L 2 De Coelo).
Si può quindi affermare che, a guardare la questione con maggiore attenzione, l’alternativa non è la libertà della scienza e l’oscurantismo dei teologi, ma tra due visioni del rapporto tra metafisica, fisica e matematica che attraversano il campo sia della scienza che della teologia (ossia che dividono da un lato pseudo-scienziati attaccati alla tradizione e veri scienziati aperti all’osservazione, dall’altro pseudo-teologi anch’essi arroccati sulla linea tradizionalista e autentici teologi, come Bellarmino, che cercavano di comprendere le innovazioni scientifiche; da notare infatti che negli ambienti della Curia romana la teoria copernicana era discussa da autorevoli personaggi e aveva interessato anche alcuni papi, in particolare Clemente VIII (1592-1605).
Si può constatare quindi che una interpretazione inadeguata e irrigidita di Aristotele ha influito molto sugli equivoci che sono sorti all’inizio dell’età moderna, dei quali il processo a Galilei è l’esempio più eclatante. Gli aristotelici moderni pretendevano che solo la conoscenza delle essenze potesse essere vera, adeguata al reale, ed inoltre pretendevano di dedurre da essa, in modo apodittico e non ipotetico, il comportamento degli enti dal punto di vista fisico; volevano quindi costringere Galilei ad ammettere che le sue teorie astronomiche erano pure finzioni matematiche, portando così all’estremo (fino a renderla insostenibile) la tesi di Bellarmino. Questi infatti riprendeva l’espressione già usata da Tommaso, “salvare le apparenze” ma tale formula potrebbe essere intesa in un duplice senso: l’astronomia (in quel caso la teoria copernicana) formula teorie per render conto dell’apparire delle cose (sempre disposti a modificarle in seguito a nuove osservazioni), oppure l’astronomia procede formulando teorie che sono pure finzioni matematiche, prive di qualsiasi realtà fisica. Per sostenere che le sue teorie non erano pure finzioni matematiche, ma una descrizione della realtà, Galilei è spinto ad affermare che la scienza fisico-matematica è più in grado di cogliere la struttura intima e profonda dell’ente fisico. Così egli è indotto, di fronte alla rigidezza degli aristotelici suoi contemporanei, a spostarsi verso la posizione platonica, come afferma uno dei grandi studiosi della storia della scienza, A. Koiré:
«Se tu reclami per la matematica uno stato superiore, se per lo più le attribuisci un valore reale e una posizione dominante nella fisica, sei platonico. Se invece vedi nella matematica una scienza astratta che ha perciò un valore minore di quelle – fisica e metafisica – che trattano dell’ente reale, se in particolare affermi che la fisica non ha bisogno di altra base che l’esperienza e dev’essere costruita direttamente sulla percezione, che la matematica deve accontentarsi di una parte secondaria e sussidiaria sei un aristotelico. In questo dibattito non si pone in discussione la certezza delle dimostrazioni geometriche, ma l’Essere. E neppure l’uso della matematica nella scienza fisica – nemmeno gli aristotelici avrebbero mai negato il diritto di misurare ciò che è misurabile e di contare ciò che è numerabile - bensì la struttura della scienza e quindi la struttura dell’essere. […] È evidente che per i discepoli di Galileo, come per i suoi contemporanei e predecessori, matematica significa platonismo. […] Il Dialogo e i Discorsi ci narrano così la storia della scoperta o meglio della riscoperta del linguaggio parlato dalla natura. Ci spiegano la maniera di interrogarla, cioè contengono la teoria di quella ricerca sperimentale in cui la formulazione dei postulati e la deduzione delle loro conseguenze precede e guida l’osservazione. Questa poi, almeno per Galileo è una prova “di fatto”. La nuova scienza è per lui una prova sperimentale di platonismo» (Koyré, Introduzione a Platone, Vallecchi, Firenze 1980, pp. 160-167).
Ciò nonostante, il metodo effettivamente seguito da Galilei nelle sue scoperte (come quella celebre della caduta dei gravi) era assai più vicino ad un metodo sperimentale-induttivo che è stato il vero elemento innovativo della scienza moderna, la quale ha progressivamente abbandonato, nel corso dei secoli successivi, il presupposto metafisico pitagorico-platonico. Gli scienziati contemporanei, o almeno quelli più aperti alle implicazioni filosofiche e non bloccati da preconcetti ideologici, riconoscono che lo stesso Aristotele si muoveva in questa direzione: «La sua metodologia, benché pochi gli riconoscano questo merito, ha qualcosa della moderna filosofia scientifica» (J. D. Barrow – F. J. Tipler, Il principio antropico, Adelphi, Milano 2002, p. 61).
Per confermare, infine, come la scienza contemporanea abbia sciolto i legami diretti con le dispute metafisiche e abbia posto il rapporto tra matematica e fisica su un piano estremamente più pragmatico, si può ascoltare uno dei più grandi fisici del Novecento, Richard Feynman (1918-1988) in un ciclo di conferenze che tenne nel 1964 all’università Cornell (tradotte e stampate in italiano nel volume R. Feynman, La legge fisica, Boringhieri, Torino 2000). Una delle sue conferenze (corrispondente al secondo capitolo del libro) era intitolata La relazione tra matematica e fisica, esattamente il tema che qui abbiamo cercato di affrontare.
Feynman sostiene che ci sono due modi di guardare la matematica, che schematizza nella «tradizione babilonese» e nella «tradizione greca»:
«Nelle scuole babilonesi di matematica lo studente imparava un argomento facendo un gran numero di esempi fino a che scopriva la regola generale. Egli conosceva anche una certa quantità di geometria, molte proprietà dei cerchi, il teorema di Pitagora, le formule per le aree dei cubi e dei triangoli, e inoltre un certo numero di procedimenti logici per passare da un argomento all’altro. Aveva anche a sua disposizione tavole numeriche per risolvere equazioni abbastanza complicate; in una parola, tutto era indirizzato a risolvere i problemi. Euclide, invece, scoprì che c’era un modo in cui tutti i teoremi della geometria potevano essere derivati da un insieme di assiomi particolarmente semplici. L’atteggiamento babilonese – o quella che io chiamo matematica babilonese – consiste nel conoscere tutti i vari teoremi e molte delle connessioni tra di loro, senza però comprendere pienamente che tutti potrebbero dedursi da un piccolo numero di assiomi. La matematica più moderna si concentra sugli assiomi e le dimostrazioni entro una cornice ben definita di convenzioni su quello che è e su quello che non è accettabile come assioma. La geometria moderna parte da assiomi simili a quelli di Euclide, modificati per renderli più perfetti, e poi dimostra come il sistema si ricavi deduttivamente. Per esempio, non ci si aspetta che un teorema come quello di Pitagora (la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti di un triangolo retto è uguale all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa) sia un assioma. D’altra parte, da un altro punto di vista della geometria, quello di Descartes, il teorema di Pitagora è un assioma.
La prima cosa che dobbiamo accettare, dunque, è che anche in matematica si può partire da punti diversi. Se tutti questi vari teoremi sono interconnessi attraverso il ragionamento, non si può veramente dire “questi sono gli assiomi più fondamentali”, perché se invece vi dicessero che quelli fondamentali sono altri, potreste fare il ragionamento nell’altro senso. È come un ponte con moltissimi pezzi e connessioni sovrabbondanti: se dei pezzi cadono, lo potete rimettere insieme in un altro modo. Il metodo matematico di oggi è di cominciare da alcune idee particolari che sono scelte come assiomi secondo qualche convenzione, e poi di costruire la struttura a partire da lì. L’idea che io ho chiamato babilonese è quella di dire: “So questo, so quello e forse so anche quest’altro, e ricavo tutto da qui. Domani posso dimenticarmi che questo è vero, ma ricordarmi che qualche altra cosa è vera, e così posso ricostruire di nuovo tutto da capo. Non sono mai completamente sicuro di dove devo cominciare e di dove devo finire, però in ogni momento mi ricordo abbastanza risultati, così che se anche la memoria mi fallisce e qualche pezzo cade, posso rimettere tutto a posto”.
Il metodo di partire sempre dagli assiomi non è il modo più efficiente per ottenere dei nuovi teoremi. Se volete ricordare solo poche cose, cioè i pochi assiomi, potrete sempre, a partire da essi, arrivare ai risultati voluti, ma è però molto più efficiente farlo nell’altro modo. Decidere quali sono i migliori assiomi non è necessariamente il modo migliore per muoversi in questo campo. In fisica abbiamo bisogno del metodo babilonese, e non di quello euclideo o greco»
Le affermazioni di Feynman sono la testimonianza di come, nel corso di oltre tre secoli di sviluppo, la scienza moderna sia giunta a distinguere il campo di una ricerca empirica, che si avvale di un linguaggio matematico (per meglio dire: di più linguaggi matematici a seconda degli assiomi sui quali sono costruiti), dal campo di una ricerca metafisica tesa a scoprire le leggi fondamentali dell’essere. Metafisica, fisica, matematica sono discipline autonome che mentre perseguono obiettivi diversi e specifici, possono interagire tra loro in modi anche imprevisti e sorprendenti. Afferma ancora Feynman:
«I matematici trattano solo della struttura del ragionamento, e non si interessano veramente di quello di cui stanno parlando. Non devono neppure sapere quello di cui stanno parlando, o, come essi stessi dicono, se quello di cui parlano è vero. Voglio spiegarmi: voi enunciate gli assiomi: la tale cosa è così, e la tale altra e in quell’altro modo. E poi? La deduzione logica può applicarsi anche se non si sa quello che significano quelle tali parole. Se le affermazioni sugli assiomi sono accuratamente formulate e sufficientemente complete non è necessario che chi compie la deduzione abbia alcuna conoscenza del significato delle parole per dedurre nuove conclusioni espresse nello stesso linguaggio. Se uso la parola “triangolo” in uno degli assiomi, nella conclusione ci sarà un’affermazione sui triangoli, ma chi compie la deduzione può anche non sapere che cosa sia un triangolo. Lo, però, posso leggere il suo ragionamento e dire: “Triangolo, cioè un affare a tre lati, fatto così e così”, e in questo modo capisco i suoi nuovi risultati. In altre parole i matematici preparano un ragionamento astratto pronto per essere usato appena si ha una serie di assiomi sul mondo reale. Il fisico invece dà un significato a tutte le sue frasi. Questa è una cosa assai importante che molte persone che giungono alla fisica attraverso la matematica non apprezzano. La fisica non è matematica, e la matematica non è fisica. Una aiuta l’altra, ma in fisica si deve capire la connessione tra le parole e il mondo reale. Alla fine è necessario tradurre, quello che si è dedotto, in italiano, cioè nel mondo, nei blocchi di rame e di vetro con cui si faranno gli esperimenti: solo in questo modo potremo vedere se le conseguenze sono giuste. Questo è un problema che in matematica non esiste affatto» (Ivi, p. 61-2).
Da simili chiarimenti del proprio ambito di ricerca e dalle nuove scoperte che vengono effettuate nell’ambito delle scienze naturali possono infine derivare nuovi impulsi per quella ricerca sul senso globale dell’esistenza che si indica con il termine generale di «metafisica». Il più grande scienziato vivente, Stephen Hawking a questo proposito afferma:
«Tutto ciò che la mia opera ha dimostrato è che non si deve dire che il modo con cui l’universo ha avuto inizio sia stato un capriccio personale di Dio. Rimane però ancora la domanda: perché l’universo si dà la pena di esistere. Se crede, può dire che Dio sia la risposta a questa domanda»
Un analogo esempio di apertura viene dai due scienziati americani autori del Principio antropico:
«Nel corso di molti anni si era andato accumulando un complesso di risultati, in gran parte non pubblicati, che mettevano in luce misteriose coincidenze tra i valori numerici delle costanti fondamentali della natura. La possibilità stessa della nostra esistenza sembra dipendere in modo fortunoso da queste relazioni. Insieme ad altri aspetti peculiari della costituzione dell’universo, esse sembrano necessarie per permettere l’evoluzione di una forma di vita basata sul carbonio. Tutto questo rappresenta una sfida al dogma del XX secolo, secondo cui la nostra posizione nell’universo non è eccezionale da nessun punto di vista» (Ivi, p. 17).
Dai tempi di Galilei fino ad oggi, il percorso compiuto dalla scienza può essere letto come una faticosa conquista, all’interno della stessa scienza, di una posizione quanto più possibile aperta all’osservazione, libera da preconcetti ideologici e da forme di “dogmatismo” che non sono esclusivo appannaggio delle confessioni religiose, ma possono sorgere anche entro l’ambito laico della filosofia e della scienza.
BIBLIOGRAFIA: N. Abbagnano, Dizionario di filosofia, TEA, Torino 1993.
J. D. Barrow – F. J. Tipler, Il principio antropico, Adelphi, Milano 2002.
G. Basti, Filosofia della natura e della scienza, vol. I, LUP, Roma 2002.
D. Drake, Galileo Galilei, pioniere della scienza, Muzzio, Padova 1992.
A. Einstein, L. Infleld, L’evoluzione della fisica, Boringhieri, Torino 1994.
R. Feynman, La legge fisica, Boringhieri, Torino 2000.
M. Kline, Storia del pensiero matematico, Einaudi, Torino 1999.
A. Koyré, Introduzione a Platone, Vallecchi, Firenze 1980.
W.D. Ross, Aristotele, Feltrinelli, Milano 1982. |
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